DILATASI

MAKALAH

DILATASI

Disusun Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Pada Mata Kuliah Geometri Transformasi

SEMESTER IV B

JURUSAN TARBIYAH

PROGRAM STUDY S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA

Oleh :

Shinta Shaputri           

13250037

Umi Lailatul Azizah

13250047

Uswatun Khasanah

13250048

INSTITUT AGAMA ISLAM MA’ARIF (IAIM) NU

METRO-LAMPUNG

BAB II

PEMBAHASAN

A.      Definisi Dilatasi

Sebelum kita membahas definisi dilatasi ada baiknya kita melihat definisi transformasi terlebih dahulu. Transformasi adalah aturan secara geometris yang dapat menunjukkan bagaimana suatu titik atau bangun dapat berubah kedudukan dan ukurannya berdasarkan rumus tertentu. Dilatasi pada umumnya merupakan transformasi yang dapat mengubah ukuran suatu bangun.

Secara lengkapnya dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya. Pada dilatasi juga dikenal faktor skala dan titik pusat yang akan di bahas secara lebih rinci pada pembahasan di bawah ini.

B.       Contoh Dilatasi dalam Kehidupan Sehari–Hari

Penerapan dilatasi banyak dijumpai dalam kehidupan sehari–hari. Dalam makalah ini kami menyajikan beberapa contoh penerapan dilatasi dalam kehidupan sehari – hari yaitu:

·         Penerapan pertama adalah pada mikroskop atau alat pembesar. Gambar di bawah menunjukkan alat pembesar yang merupakan alat penting di laboratorium foto. Alat ini digunakan untuk memperbesar foto dari negatifnya (klisenya). Dengan menggerakkan film di depan lensa, memungkinkan untuk mengubah ukuran foto yang dihasilkan.

·         Penerapankedua, Skala pada peta. Pada umumnya skala peta bertuliskan 1 : 1000000 cm yang artinya jika skala pada peta 1 cm maka pada kenyataannya berjarak 1000000 cm.

C.      Tafsiran Geometri dari Dilatasi

Perkalian atau dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Faktor pengali tersebut disebut faktor dilatasi atau faktor skala dan titik tertentu itu dinamakan pusat dilatasi.

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu dilatasi ditentukan oleh:

1)       Faktor skala (k), dan

Faktor skala (k) adalah perbandingan antara jarak titik bayangan dari titik pusat dilatasi dan jarak titik benda berkaitan dengan titik pusat dilatasi. Faktor skala (k) jua di definisikan sebagai perbandingan antara panjang sisi  tiap bayangan dan panjang sisi yang berkaitan pada benda.

 

Faktor skala k =

Contoh: sebuah segitiga ABC dengan titik A (1,2) B (2,3) dan C (3,1) mendapat dilatasi terhadap titik 0 dengan faktor skala 2. Tentukan koordinat bayangan titik-titik sudut  segitiga ABC

Jawab : Koordinat bayangan titik A, B dan C masing-masing adalah A1 (2,4), B1(4,6) dan C’ (6,2)

Catatan : Misal faktor skala k1 maka

Pada dilatasi suatu bangun faktor K akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangan.

(I) Jika K > 1, maka bangun bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

(II) Jika 0 < K < 1, maka bangun bayangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

(III) Jika -1 < K < 0, maka bangun bayangan diperkecil dan terletak berlainan pihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

(IV) Jika K < -1, maka bangun bayangan diperbesar dan terletak berlainan terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

2)       Pusat dilatasi

Jika yang dilatasikan suatu bangun, maka dilatasi akan mengubah ukuran tanpa mengubah bentuk bangun tersebut. Dilatasi yang berpusat di P dengan faktor skala k dinotasikan dengan [P,k].

Sifat-sifat dilatasi antara lain:

a)        Jika k > 1, bangun bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

b)       Jika 0 < k < 1, bangun bayangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

c)        Jika -1 < k < 0, bangun bayangan diperkecil dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

d)       Jika k < -1, bangun bayangan diperbesar dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

·         Dilatasi Terhadap Titik Pusat O (0,0)

Jika titik P (x,y) didilatasikan terhadap titik pusat O (0,0) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah P’ (x’,y’) dengan

                                        x’ = kx dan y’ = ky

Secara pemetaan dapat ditulis:

                        [O,k] : P (x,y)  P’ (kx,ky)

Dengan persamaan matriks, pemetaan diatas dapat ditulis:

                                         =

Matriks  dinamakan matriks yang bersesuaian dengan dilatasi [O,k].

Jika titik P(x,y) didilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala K didapat bayangan titik P’(x’,y’).
Maka mempunyai posisi (x',y') dengan:

 (x',y')   =    X’ = Kx

                   Y’ = Ky

·         Dilatasi Terhadap Titik Pusat A (a,b)

Jika titik P (x,y) didilatasikan terhadap titik pusat A (a,b) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah P’ (x’,y’) dengan

        x’ – a = k (x – a) dan y’ – b = k (y – b)

Dengan persamaan matriks, hubungan di atas dapat ditulis:

                         =  +

Jika titik P(x,y) didilatasikan terhadap titik pusat A(a,b) dengan faktor skala K didapat bayangan titik P’(x’,y’) maka:

                X’ = a + K (x-a)
                 Y’ = b + K (y-b)

D.      Contoh Soal Tentang Dilatasi

1.        ABCD adalah sebuah persegi dengan koordinat titik-titik sudut A(1,1), B(2,1), C(2,2) dan D(1,2). Tentukan peta atau bayangan dari titik-titik sudut persegi itu oleh dilatasi [O,2]!

Penyelesaiaan:

Peta atau bayangan titik-titik sudut persegi oleh dilatasi [O,2]

Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi [0,2] adalah

Peta atau bayangan dari titik sudut persegi A(1,1), B(2,1), C(2,2) dan D(1,2) adalah

\       Jadi peta dari titik-titik sudut ABCD adalah A’(2,2), B’(4,2), C’(4,4) dan D’(2,4)

2.        Titik A’(-16,24) merupakan bayangan dari titik A() yang didilatasikan dengan pusat O(0,0) dan faktor skala -4. Koordinat titik A adalah...

Penyelesaian:

\       Jadi titik A’(-16,24) merupakan bayangan dari titik A() yang didilatasikan dengan pusat O(0,0) dan faktor skala -4.

3.        Tentukan persamaan peta dari garis  oleh dilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5!

Penyelesaian:

 didilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5, maka:

Sehingga diperoleh  dan  . Maka bayangannya adalah :

\       Jadi peta dari dilatasi garis  terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5 adalah

4.        Lingkaran . Jika ditransformasikan dengan dilatasi [O,4], persamaan bayangannya adalah...

Penyelesaiaan:

 didilatasi [O,4], maka:

Sehingga diperoleh :  dan . Maka bayangannya adalah:

\       Jadi bayangan lingkaran  yang didilatasi [O,4] adalah

5.        Diketahui titik P(12,-5) dan A(-2,1). Bayangan titik P oleh dilatasi  adalah...

Penyelesaian:

Titik P(12,-5) didilatasi [. Artinya titik P(12,-5)  didilatasi [(-2,1),, maka:

\       Jadi bayangan Titik P(12,-5) yang didilatasi [ adalahP’(5,-2).

6.        Bayangan titik P(-2,3) oleh dilatasi [O,k] adalah P’(4,-6) sehingga bayangan titik Q(3,-2) oleh [O,4k] adalah...

Penyelesaian:

Titik P(-2,3) didilatasi [O,k] adalah P’(4,-6)

Diperoleh nilai

Sehingga mencari bayangan titik Q(3,-2) oleh [O,4k] sama saja dengan mencari bayangan titik Q(3,-2) oleh [O,4(-2)] = [O,-8], diperoleh:

Sehingga bayangan titik Q(3,-2) oleh [O,4k] adalah Q’(-24,1}